''PROPIEDADES DE POLIGONOS''

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.

	Cada uno de los segmentos se denomina lado.
	El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.
	El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres.

Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante. Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo. Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales. El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales) Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2 No regular

 Algunas propiedades de los polígonos:

La suma de los ángulos interiores de un polígono        de n lados es 180(n-2).		En un polígono convexo la          suma de los ángulos exteriores es 360.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.

Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.

Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

En un polígono regular de n lados:

Angulo central =360/n

Angulo interior = 180 - 360/n

Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a

(L/2)² + a² = r²  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.

No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta. 

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

N=3Triangulo Equilátero	N= 4 Cuadrado         .	N=5Pentágono Regular	N=6Hexágono Regular	N=8Octógono Regular.	N=10Decágono Regular	N=15Pentadecágono Regular	N=17Heptadecágono Regular

	Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.
	Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537(n=4).

 También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.